36 复数

下面是关于复数¹⁸⁴的一点入门介绍，直接抄自维基百科：

复数是可以表示为 \(a+bi\) 形式的数，其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数 [即 C 中的浮点类型]，而 \(i\) 表示虚数单位，满足方程 \(i^2=−1\)。因为没有实数满足这个方程，所以 \(i\) 被称为虚数。对于复数 \(a+bi\)，\(a\) 称为实部，\(b\) 称为虚部。

不过我最多也就讲到这儿。我们假定，你既然在读这一章，就已经知道复数是什么、以及你想拿它做什么了。

而我们要讲的，只是 C 为此提供的那些能力。

然而，编译器对复数的支持其实是一项可选特性。并非所有符合标准的编译器都能做到。而能做到的那些，完整程度也参差不齐。

你可以这样测试你的系统是否支持复数：

#ifdef __STDC_NO_COMPLEX__
#error Complex numbers not supported!
#endif

此外，还有一个宏，用来指示是否遵循 ISO 60559（IEEE 754）关于复数浮点运算的标准，以及是否存在 _Imaginary 类型。

#if __STDC_IEC_559_COMPLEX__ != 1
#error Need IEC 60559 complex support!
#endif

更多细节在 C11 规范的附录 G 中有详细说明。

36.1 复数类型

要使用复数，需 #include <complex.h>。

这样一来，你就至少得到两种类型：

_Complex
complex

这两者含义相同，所以你不妨用更漂亮的 complex。

如果你的实现符合 IEC 60559，还会得到一些用于虚数的类型：

_Imaginary
imaginary

这两者也含义相同，所以你不妨用更漂亮的 imaginary。

你还会得到虚数 \(i\) 本身的值：

I
_Complex_I
_Imaginary_I

宏 I 被设为 _Imaginary_I（如果可用）或 _Complex_I。所以表示虚数时直接用 I 就行。

顺便说一句：我说过，如果某个编译器把 __STDC_IEC_559_COMPLEX__ 设为 1，那它就必须支持 _Imaginary 类型才算符合标准。这是我对规范的理解。然而，我知道的编译器里，没有一个在设置了 __STDC_IEC_559_COMPLEX__ 的情况下真正支持 _Imaginary。所以下面我会写一些用到该类型的代码，而这些代码我根本没法测试。抱歉！

好，现在我们知道有 complex 类型了，可它怎么用呢？

36.2 给复数赋值

既然复数有实部和虚部，而这两部分都依赖浮点数来存储数值，我们就还得告诉 C：复数的这两部分要使用什么精度。

做法很简单：把 float、double 或 long double 贴在 complex 前面或后面即可。

我们来定义一个用 float 作为其组成部分的复数：

float complex c;   // 规范更推荐这种写法
complex float c;   // 一回事——顺序无关紧要

这对声明来说当然很好，可我们该怎么初始化它们或给它们赋值呢？

结果是，我们可以使用一种相当自然的记法。看例子！

double complex x = 5 + 2*I;
double complex y = 10 + 3*I;

分别对应 \(5+2i\) 和 \(10+3i\)。

36.3 构造、分解与打印

我们这就快讲到了……

我们已经见过一种书写复数的方式：

double complex x = 5 + 2*I;

用其他浮点数来构造它也没有问题：

double a = 5;
double b = 2;
double complex x = a + b*I;

此外还有一组宏可以帮助构造它们。上面的代码可以用 CMPLX() 宏写成这样：

double complex x = CMPLX(5, 2);

据我查证所能确定的，这两者是几乎等价的：

double complex x = 5 + 2*I;
double complex x = CMPLX(5, 2);

但 CMPLX() 宏每次都能正确处理虚部中的负零，而另一种写法则可能把它们变成正零。我认为¹⁸⁵这似乎意味着：只要虚部有可能为零，就应该用这个宏……不过如果我搞错了，希望有人能纠正我！

CMPLX() 宏作用于 double 类型。另外还有两个宏分别用于 float 和 long double：CMPLXF() 和 CMPLXL()。（这些“f”和“l”后缀几乎出现在所有与复数相关的函数中。）

现在来试试反方向：如果我们有一个复数，怎么把它拆成实部和虚部？

这里有两个函数，可以从一个数中提取实部和虚部：creal() 和 cimag()：

double complex x = 5 + 2*I;
double complex y = 10 + 3*I;

printf("x = %f + %fi\n", creal(x), cimag(x));
printf("y = %f + %fi\n", creal(y), cimag(y));

输出如下：

x = 5.000000 + 2.000000i
y = 10.000000 + 3.000000i

注意，我在 printf() 格式字符串里写的 i 是一个会被原样打印出来的字面 i——它不是格式说明符的一部分。creal() 和 cimag() 的返回值都是 double。

和往常一样，这些函数也有 float 和 long double 版本：crealf()、cimagf()、creall() 和 cimagl()。

36.4 复数的算术运算与比较

复数上可以进行算术运算，不过其数学原理超出了本指南的范围。

#include <stdio.h>
#include <complex.h>

int main(void)
{
    double complex x = 1 + 2*I;
    double complex y = 3 + 4*I;
    double complex z;

    z = x + y;
    printf("x + y = %f + %fi\n", creal(z), cimag(z));

    z = x - y;
    printf("x - y = %f + %fi\n", creal(z), cimag(z));

    z = x * y;
    printf("x * y = %f + %fi\n", creal(z), cimag(z));

    z = x / y;
    printf("x / y = %f + %fi\n", creal(z), cimag(z));
}

结果如下：

x + y = 4.000000 + 6.000000i
x - y = -2.000000 + -2.000000i
x * y = -5.000000 + 10.000000i
x / y = 0.440000 + 0.080000i

你还可以比较两个复数是否相等（或不等）：

#include <stdio.h>
#include <complex.h>

int main(void)
{
    double complex x = 1 + 2*I;
    double complex y = 3 + 4*I;

    printf("x == y = %d\n", x == y);  // 0
    printf("x != y = %d\n", x != y);  // 1
}

输出为：

x == y = 0
x != y = 1

如果两个分量的比较结果都相等，那么这两个复数就相等。注意，和所有浮点数一样，由于舍入误差，只要两者足够接近，它们也可能被判为相等¹⁸⁶。

36.5 复数数学

等等！复数可不止简单的算术运算！

下面这张汇总表列出了处理复数时可用的全部数学函数。

我只列出每个函数的 double 版本，但它们全都有 float 版本（在函数名后加上 f）和 long double 版本（在函数名后加上 l）。

例如，用于计算复数绝对值的 cabs() 函数也有 cabsf() 和 cabsl() 两个变体。为简洁起见，我把它们省略了。

36.5.1 三角函数

36.5.2 指数与对数函数

36.5.3 幂与绝对值函数

36.5.4 操作函数